Prosím pomozte. Nejsem si jistý, jak to udělat rychle, aniž by to všechno vynásobilo?

Odpovědět:

Odpověď na (i) je #240#.

Odpověď na (ii) je #200#.

Vysvětlení:

Můžeme to udělat pomocí Pascalova trojúhelníku, který je uveden níže.

(i)

Protože exponent je #6#, musíme použít šestý řádek v trojúhelníku, který zahrnuje #color (fialová) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # a #color (purple) 1 #. V podstatě použijeme #color (blue) 1 # jako první termín a. t #color (červená) (2x) # jako druhý. Pak můžeme vytvořit následující rovnici. Exponent prvního výrazu se zvyšuje o #1# pokaždé a exponent druhého termínu klesá o #1# s každým termínem z trojúhelníku.

# (barva (fialová) 1 * barva (modrá) (1 ^ 0) * barva (červená) ((2x) ^ 6) + (barva (fialová) 6 * barva (modrá) (1 ^ 1) * barva (červená) ((2x) ^ 5) + (barva (fialová) 15 * barva (modrá) (1 ^ 2) * barva (červená) ((2x) ^ 4) + (barva (fialová) 20 * barva (modrá) (1 ^ 3) * barva (červená) ((2x) ^ 3) + (barva (fialová) 15 * barva (modrá) (1 ^ 4) * barva (červená) ((2x) ^ 2)) + (barva (fialová) 6 * barva (modrá) (1 ^ 5) * barva (červená) ((2x) ^ 1) + (barva (fialová) 1 * barva (modrá) (1 ^ 6) * barva (červená) ((2x) ^ 0)) #

Pak to můžeme zjednodušit.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Proto koeficient # x ^ 4 # je #240#.

(ii)

Už známe rozšíření # (1 + 2x) ^ 6 #. Nyní můžeme tyto dva výrazy násobit společně.

#color (hnědý) (1-x (1/4)) * barva (oranžová) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Součinitel #X# v # 1-x (1/4) # je #1#. Takže víme, že zvýší hodnoty exponentů v druhém výrazu o #1#. Protože potřebujeme koeficient # x ^ 4 #, musíme se množit # 160x ^ 3 # podle # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Musíme to přidat # 240x ^ 4 #. Toto je jedna část řešení # 240x ^ 4 * (1 x (1/4)) #, kvůli násobení #1#. Je významný, protože má také exponent #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Proto je koeficient #200#.

Odpovědět:

i. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Vysvětlení:

Binomické rozšíření pro # (a + bx) ^ c # lze zobrazit jako:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Pro část 1 potřebujeme pouze, když # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Pro část 2 také potřebujeme # x ^ 3 # termín kvůli # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #