Součet čtverce dvou po sobě jdoucích čísel je 390. Jak můžete formulovat kvadratickou rovnici pro nalezení dvou čísel?

Odpovědět:

Kvadratická by byla # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

To nemá žádná celočíselná řešení.

Ani součet čtverců žádných dvou celých čísel se rovná #390#.

Součet čtverců dvou Gaussových celých čísel může být 390.

Vysvětlení:

Pokud je menší ze dvou čísel # n #, pak je větší # n + 1 # a součet jejich čtverců je:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Takže kvadratická rovnice, kterou bychom chtěli vyřešit, je:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

nebo pokud dáváte přednost:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Všimněte si však, že pro každé celé číslo # n # součet # 2n ^ 2 + 2n + 1 # bude liché, takže to není možné #390# být součtem čtverců dvou celých čísel.

Lze to vyjádřit jako součet čtverců libovolných dvou celých čísel?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# není náměstí

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# není náměstí

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# není náměstí

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# není náměstí

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# není náměstí

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# není náměstí

Ne - pokud půjdeme dál, velký zbytek po odečtení čtverce nebude jedním z těch, které jsme již zkontrolovali.

#barva bílá)()#

Komplexní poznámka pod čarou

Existuje pár Gaussových celých čísel, jejichž součet je čtverec #390#?

Ano.

Předpokládejme, že můžeme najít Gaussovo celé číslo # m + ni #, jejíž skutečná část je #195#. Řešením by pak byl součet čtverce tohoto Gaussova čísla a čtverce jeho komplexního konjugátu.

Shledáváme:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Takže chceme najít celá čísla #m, n # takové # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Dobře:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Proto zjistíme:

# (14 + i) 2 + (14-i) 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Další řešení, které vychází ze skutečnosti, že každé liché číslo je rozdíl čtverců dvou po sobě následujících čísel:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #

Produkt dvou po sobě jdoucích celých čísel je o 47 více než následující po sobě jdoucí celé číslo. Jaká jsou dvě celá čísla?

-7 a -6 OR 7 a 8 Nechť celá čísla jsou x, x + 1 a x + 2. Pak x (x + 1) - 47 = x + 2 Řešení pro x: x ^ 2 + x - 47 = x + 2 x ^ 2 - 49 = 0 (x + 7) (x - 7) = 0 x = -7 a 7 Kontrola zpět, oba výsledky fungují, takže dvě celá čísla jsou buď -7 a -6 nebo 7 a 8. pomáhá!

Znát vzorec k součtu N celých čísel a) co je součet prvních N po sobě jdoucích čtvercových celých čísel, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Součet prvních N po sobě následujících celých čísel krychle Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Pro S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Máme sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 řešení pro sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 tak sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3

"Lena má 2 po sobě jdoucí celá čísla."Všimne si, že jejich součet se rovná rozdílu mezi jejich čtverci. Lena vybírá další 2 po sobě jdoucí celá čísla a všimne si totéž. Prokázat algebraicky, že to platí pro všechny 2 po sobě jdoucí celá čísla?

Laskavě se podívejte na Vysvětlení. Připomeňme, že po sobě jdoucí celá čísla se liší o 1. Proto, pokud m je jedno celé číslo, pak musí být následující celé číslo n + 1. Součet těchto dvou celých čísel je n + (n + 1) = 2n + 1. Rozdíl mezi jejich čtverci je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, podle potřeby! Cítit radost z matematiky!