Součet čtverce tří celých čísel je 324. Jak zjistíte celá čísla?

Odpovědět:

Jediným řešením s odlišnými kladnými celými čísly je #(2, 8, 16)#

Úplná sada řešení je:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Vysvětlení:

Můžeme si zachránit určité úsilí tím, že vezmeme v úvahu to, co tvoří čtverce.

Li # n # je pak liché celé číslo #n = 2k + 1 # pro některé celé číslo # k # a:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Všimněte si, že se jedná o liché celé číslo formuláře # 4p + 1 #.

Pokud tedy přidáte čtverce dvou lichých celých čísel, dostanete vždy celé číslo formuláře # 4k + 2 # pro některé celé číslo # k #.

Všimněte si, že #324 = 4*81# je formuláře # 4k #, ne # 4k + 2 #.

Můžeme tedy odvodit, že všechna tři celá čísla musí být stejná.

Existuje celá řada řešení v celých číslech od roku # n ^ 2> = 0 # pro každé celé číslo # n #.

Zvažte řešení v nezáporných celých číslech. Na konci můžeme přidat varianty zahrnující záporná celá čísla.

Předpokládejme, že největší číslo je # n #, pak:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Tak:

# 12 <= n <= 18 #

Výsledkem jsou možné součty čtverců ostatních dvou celých čísel:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Pro každou z těchto hodnot # k #, předpokládejme, že největší zbývající celé číslo je # m #. Pak:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

a požadujeme # k-m ^ 2 # být dokonalým náměstím.

Proto najdeme řešení:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Takže jediné řešení s odlišnými kladnými celými čísly je #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Je to snadné ukázat # x, y # a # z # musí být i proto, že to dělá # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # a # z = 2m_z # my máme

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # nebo

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # což je absurdní.

Takže od teď budeme uvažovat

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Nyní zvažujeme identitu

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

s # l, m, n # libovolných kladných celých čísel a tvorby

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

my máme

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # nebo řešení # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) # #

potřebujeme

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # nebo

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

tak pro # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # budeme mít

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # tak proveditelné # q # jsou

#q_f = {80,72,56,32} # protože #q equiv 0 mod 4 #

takže musíme najít

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # nebo

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Zde, jak můžeme snadno ověřit, je jediným řešením

# l_1 = 2, m_1 = 4 # protože

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

a následně # n_1 = {4,5} #

a nahrazení do 1 dostaneme

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

roztok

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #