Jak zjistíte inflexní body pro y = sin x + cos x?

Odpovědět:

Bodem inflexe jsou: # ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) #

Vysvětlení:

1 - Nejdříve musíme najít druhou derivaci naší funkce.

2 - Zadruhé, tento derivát vyvažujeme# ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) # na nulu

# y = sinx + cosx #

# => (dy) / (dx) = cosx-sinx #

# => (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx #

Další, # -sinx-cosx = 0 #

# => sinx + cosx = 0 #

Teď to vyjádříme ve formě #Rcos (x + lamda) #

Kde # lambda # je jen ostrý úhel a # R # je kladné celé číslo, které má být určeno. Takhle

# sinx + cosx = Rcos (x + lambda) #

# => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda #

Vyrovnáním koeficientů # sinx # a # cosx # na každé straně rovnice,

# => Rcoslamda = 1 #

a # Rsinlambda = -1 #

# (Rsinlambda) / (Rcoslambda) = (- 1) / 1 => tanlambda = -1 => lambda = tan ^ -1 (-1) = - pi / 4 #

A # (Rcoslambda) ^ 2 + (Rsinlambda) ^ 2 = (1) ^ 2 + (- 1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2x + sin ^ 2x) = 2 #

Ale známe identitu, # cos ^ 2x + sin ^ 2 = 1 #

Proto, # R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

Ve zkratce, # (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx = sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => cos (x-pi / 4) = 0 = cos (pi / 2) #

Takže obecné řešení #X# je: # x-pi / 4 = + - pi / 2 + 2kpi #, # kinZZ #

# => x = pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi #

Inflexní body budou tedy libovolné body, které mají souřadnice:

# (pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + -pi / 2-pi / 4) #

Můžeme se zabývat dvěma případy, Případ 1. T

# (pi / 4 + pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + pi / 2-pi / 4)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 2)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) #

Případ 2

# (pi / 4-pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4-pi / 2-pi / 4)) #

# => (- pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (-pi / 2)) #

# => ((- pi / 2 + 2kpi, 0)) #

Ukažte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jsem trochu zmatený, když udělám Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný jako cos (180 ° -theta) = - costheta in druhý kvadrant. Jak mám doložit otázku?

Viz níže. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Jak zjistíte Limit [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] jako x se blíží 0?

Proveďte několik násobných násobení a zjednodušte si lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 Přímá substituce vytváří neurčitou formu 0/0, takže budeme muset vyzkoušet něco jiného. Zkuste násobit (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) pomocí (1 + cosx) / (1 + cosx): (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) Tato technika je známá jako konjugované násobení a funguje téměř pokaždé. Cílem je použít rozdíl vlastn

Jak zjistíte určitý integrál pro: e ^ sin (x) * cos (x) dx pro intervaly [0, pi / 4]?

Použijte u-substituci, abyste získali int_0 ^ (pi / 4) e ^ sinx * cosxdx = e ^ (sqrt (2) / 2) -1. Začneme tím, že vyřešíme neurčitý integrál a pak se budeme zabývat hranicemi. V inte ^ sinx * cosxdx máme sinx a jeho derivaci cosx. Proto můžeme použít u-substituci. Nechť u = sinx -> (du) / dx = cosx-> du = cosxdx. Děláme substituci, máme: inte ^ udu = e ^ u Konečně, zpět náhradní u = sinx získat konečný výsledek: e ^ sinx Nyní můžeme zhodnotit 0 až pi / 4: [e ^ sinx] _0 ^ ( pi / 4) = (e ^ sin (pi / 4) -e ^ 0) = e ^ (sqrt (2) / 2) -1 ~ ~ 1.