Jak zjistíte Limit [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] jako x se blíží 0?

Odpovědět:

Proveďte několik násobných konjugací a zjednodušte si to #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Vysvětlení:

Přímá substituce produkuje neurčitou formu #0/0#, takže budeme muset vyzkoušet něco jiného.

Zkuste násobit # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # podle # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Tato technika je známa jako násobení konjugátu a funguje téměř vždy. Cílem je použít rozdíl vlastností čtverců # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # zjednodušit buď čitatel nebo jmenovatel (v tomto případě jmenovatel).

Odvolej to # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, nebo # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Můžeme tedy nahradit jmenovatele, kterým je # 1-cos ^ 2x #, s # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Teď # sin ^ 2x # zruší:

# ((sinx) (zrušit (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (zrušit (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Dokončete tak, že vezmete limit tohoto výrazu:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#