Ukažte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jsem trochu zmatený, když udělám Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný jako cos (180 ° -theta) = - costheta in druhý kvadrant. Jak mám doložit otázku?

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

# LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) #

# = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) #

# = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) # #

# = 2 * sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * 1 = 2 = RHS #

Víme, že, #color (červená) (costheta = sin (pi / 2-theta) # tak také,

#color (červená) (cos ^ 2theta = sin ^ 2 (pi / 2-theta) #

#color (purpurová) (costheta = -sin ((3pi) / 2-theta) # tak také,

#color (purpurová) (cos ^ 2theta = (-sin ((3pi) / 2-theta)) ^ 2 = sin ^ 2 ((3pi) / 2-theta) #

vrátit se k otázce, #color (červená) (cos²π / 10) + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + barva (purpurová) (cos² (9π) / 10) = 2 #

#color (červená) (sin² (pi / 2-π / 10)) + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + barva (purpurová) ((- sin ((3pi) / 2- (9π) / 10)) ^ 2) = 2 #

# sin² ((5pi) / 10-π / 10) + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + sin² ((3pi) / 2- (9π) / 10) = 2 #

# sin² (4π) / 10 + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + sin² ((15pi) / 10- (9π) / 10) = 2 #

# sin² (4π) / 10 + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + sin² (6π) / 10 = 2 #

Použití, # sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#1+1=2#

#2=2#

Z tohoto důvodu.

P.S. jste šel vpravo, jen si všimněte, že i když jeho negativní, poslední odpověď se ukáže jako pozitivní jako # cos # je čtvercová podle otázky. Jakékoliv negativní číslo je kladné:)