Co je doména a rozsah f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Odpovědět:

Doména: celá reálná linie

Rozsah: #-0.0757,0.826#

Vysvětlení:

Tuto otázku lze interpretovat jedním ze dvou způsobů. Buď očekáváme, že se budeme zabývat pouze skutečnou linií # RR #, nebo také se zbytkem složité roviny # CC #. Použití #X# jako proměnná znamená, že se zabýváme pouze skutečnou linií, ale mezi oběma případy, které si povšimnu, je zajímavý rozdíl.

Doména #F# je celá uvažovaná číselná množina mínus všechny body, které způsobují, že funkce vyhodí do nekonečna. To se stane, když jmenovatel # x ^ 2 + 4 = 0 #kdy # x ^ 2 = -4 #. Tato rovnice nemá žádná reálná řešení, takže pokud pracujeme na reálném řádku, doména je celý interval # (- oo, + oo) #. Pokud vezmeme v úvahu nekonečné meze funkce porovnáním vedoucích termínů v čitateli a jmenovateli, vidíme, že na obou nekonečnach má tendenci k nule, a tak můžeme, pokud si to přejeme, přidat do tohoto intervalu, abychom jej uzavřeli: # - oo, + oo #.

Rovnice # x ^ 2 = -4 # má však dvě komplexní řešení, #x = + - 2i #. Pokud vezmeme v úvahu celou komplexní rovinu, pak doménou je celá rovina mínus tyto dva body: # CC # # {+ - 2i} #. Stejně jako u reals, můžeme přidat nekonečno podobně, pokud si přejeme.

Určit rozsah #F# musíme zjistit jeho maximální a minimální hodnoty nad jeho doménou. Nyní budeme hovořit pouze ve smyslu realů, protože stanovení analogu k nim nad složitou rovinou je obecně jiný druh problému vyžadujícího různé matematické nástroje.

Vezměte první derivaci pomocí pravidla kvocientu:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Funkce #F# dosáhne buď extrému nebo bodu inflexe, když #f '(x) = 0 #kdy # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Řešíme to kvadratickým vzorcem:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Funkce má tedy dva takové body.

Tyto body charakterizujeme zkoumáním jejich hodnot na druhém derivátu #F#, které opět vezmeme prostřednictvím pravidla kvocientu:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Z našeho prvního výpočtu derivace kořenů víme, že druhý termín v čitateli je pro tyto dva body nulový, protože nastavení na nulu je rovnice, kterou jsme právě vyřešili, abychom našli vstupní čísla.

Takže si toho všimneme # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Při určování znaku tohoto výrazu se ptáme, zda # 26> 6sqrt (13) #. Srovnejte obě strany a porovnejte: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Tak # 26-6sqrt (13) # je pozitivní (a # 26 + 6sqrt (13) # ještě víc).

Znaménko celého výrazu tedy jde dolů #bar (+) # před ním, což znamená, že # x = -3-sqrt (13) # má #f '' (x)> 0 # (a je tedy minimální funkcí) a # x = -3 + sqrt (13) # má #f '' (x) <0 # (a je tedy maximální funkcí). Když jsme si všimli, že funkce má v nekonečnech nulu, nyní plně chápeme tvar funkce.

Abychom nyní získali rozsah, musíme vypočítat hodnoty funkce na minimálních a maximálních bodech # x = -3 + -sqrt (13) #

Odvolej to #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, a tak

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Takže přes skutečnou linii # RR # funkce #f (x) # hodnoty v rozsahu # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, který, pokud budeme numericky hodnotit, přijde #-0.0757,0.826#, na tři významné číslice získané na #X# hodnoty #-6.61# a #0.606# (3 s.f.)

Nakreslete graf funkce jako kontrolu zdravého rozumu:

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Odpovědět:

Doména: #x v RR #

Rozsah: #f (x) v barvě -0.075693909, + 0.825693909 (bílá) ("xxx") # (přibližně)

Vysvětlení:

Dáno

#color (bílá) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Doména

doména jsou všechny hodnoty #X# pro který #f (x) # je definováno.

Pro jakoukoliv funkci vyjádřenou jako polynom dělený polynomem je funkce definována pro všechny hodnoty #X# kde dělitelový polynom není roven nule. Od té doby # x ^ 2> = 0 # pro všechny hodnoty #X#, # x ^ 2 + 4> 0 # pro všechny hodnoty #X#; to je #x! = 0 # pro všechny hodnoty #X#; funkce je definována pro všechny Real (# RR #) hodnoty #X#.

Rozsah

rozsah vývoj je trochu zajímavější.

Všimneme si, že pokud má spojitá funkce meze, derivace funkce v bodech vedoucích k těmto limitům se rovná nule.

I když některé z těchto kroků mohou být triviální, budeme tímto procesem pracovat od poměrně základních principů derivátů.

1 Pravidlo exponentů pro deriváty

Li #f (x) = x ^ n # pak # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Pravidlo součtu pro deriváty

Li #f (x) = r (x) + s (x) # pak # (df (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Produktové pravidlo pro deriváty

Li #f (x) = g (x) * h (x) # pak # (df (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Řetězové pravidlo pro deriváty

Li #f (x) = p (q (x)) # pak # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pro danou funkci #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

všimneme si, že toto může být napsáno jako #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Podle 3 víme

#color (bílá) ("XXX") barva (červená) ((df (x)) / (dx)) = barva (vápno) ((d (x + 3)) / (dx)) * barva (modrá) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + barva (modrá) ((x + 3)) * barva (purpurová) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Do 1 máme

#color (bílá) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

a 2

#color (bílá) ("XXX") barva (vápno) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = barva (vápno) (1) #

Do 4 máme

#color (bílá) ("XXX") barva (purpurová) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

a 1 a 2

#color (bílá) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

nebo zjednodušené:

#color (bílá) ("XXXXXXXX") = barva (purpurová) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

dává nám

#color (bílá) ("XXX") barva (červená) ((df (x)) / (dx)) = barva (zelená) 1 * barva (modrá) ((x + 4) ^ (- 1)) + barva (modrá) ((x + 3)) * barva (purpurová) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

které lze zjednodušit

#color (bílá) ("XXX") barva (červená) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Jak bylo uvedeno (zpět), znamená to, že mezní hodnoty nastanou, když

#color (bílá) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (bílá) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

pak pomocí kvadratického vzorce (podívejte se na toto téma, Socratic si již stěžuje na délku této odpovědi)

když

#color (bílá) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Namísto prodloužení utrpení jednoduše zapíšeme tyto hodnoty do naší kalkulačky (nebo tabulky, což je způsob, jak to dělám), abych získal limity:

#color (bílá) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

a

#color (bílá) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Odpovědět:

Jednodušší způsob hledání rozsahu. Doména je #x v RR #. Rozsah je #y v -0.076, 0.826 #

Vysvětlení:

Doména je #x v RR # tak jako

#AA x v RR #, jmenovatel # x ^ 2 + 4> 0 #

Nechat # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Kříž se násobí

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Toto je kvadratická rovnice v #X#

Jsou-li diskriminační, existují řešení #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Proto, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Řešení této nerovnosti jsou

# y in (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y v -0.076, 0.826 #

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}