Vyřešte pro x v RR rovnici sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Odpovědět:

#xv 5, 10 #

Vysvětlení:

Nechat # u = x-1 #. Pak můžeme přepsat levou stranu rovnice jako

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 |

Všimněte si přítomnosti #sqrt (u) # v rovnici a že hledáme jen skutečné hodnoty, takže máme omezení #u> = 0 #. S tímto budeme nyní zvažovat všechny zbývající případy:

Případ 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Tím pádem # u = 4 # je jediným řešením v intervalu #0, 4#

Případ 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Protože se jedná o tautologii, každá hodnota v #4, 9# je řešením.

Případ 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Tím pádem #u = 9 # je jediným řešením v intervalu # 9, oo #

Spolu jsme #4, 9# jako řešení pro reálné hodnoty # u #. Nahrazení v #x = u + 1 #, dorazíme ke konečnému souboru řešení #xv 5, 10 #

Při pohledu na graf na levé straně se shoduje s tím, co bychom očekávali: