Doba satelitu pohybujícího se velmi blízko povrchu země s poloměrem R je 84 minut. jaké bude období stejného satelitu, je-li přijato ve vzdálenosti 3R od povrchu Země?

Odpovědět:

A. 84 min

Vysvětlení:

Keplerův třetí zákon uvádí, že perioda je přímo vztažena k poloměru krychle:

# T ^ 2 = (4π ^ 2) / (GM) R ^ 3 #

kde T je perioda, G je univerzální gravitační konstanta, M je hmotnost země (v tomto případě), a R je vzdálenost od center dvou těles.

Z toho můžeme získat rovnici za období:

# T = 2pisqrt (R ^ 3 / (GM)) #

Zdá se, že pokud je poloměr ztrojnásoben (3R), T by se zvětšil o faktor #sqrt (3 ^ 3) = sqrt27 #

Vzdálenost R musí být měřena od střediska orgánů. Problém uvádí, že satelit letí velmi blízko povrchu země (velmi malý rozdíl), a protože nová vzdálenost 3R je přijímána na povrchu země (velmi malý rozdíl * 3), poloměr se sotva mění. To znamená, že období by mělo zůstat přibližně 84 min. (volba A)

Ukazuje se, že pokud by bylo možné létat satelitem (teoreticky) přesně na povrchu Země, poloměr by se rovnal poloměru Země a doba by byla 84 minut (pro více informací klikněte zde). Podle tohoto problému je pak změna vzdálenosti od povrchu 3R účinná #0*3=0#, takže R zůstává stejný.