Jak zjednodušíte 2cos ^ 2 (4θ) -1 pomocí dvojitého úhlu?

Odpovědět:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Vysvětlení:

Existuje několik vzorců dvojitého úhlu pro kosinus. Obvykle je preferovaný ten, který mění kosinus na jiný kosinus:

cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Tento problém můžeme skutečně provést ve dvou směrech. Nejjednodušší způsob je říct # x = 4 t tak se dostaneme

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

což je dost zjednodušené.

Obvyklý způsob, jak jít, je získat to z hlediska # theta #. Začneme pronajímáním # x = 2

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Jestli jsme se dostali # x = cos theta # měli bychom osmý Chebyshevův polynom prvního druhu, # T_8 (x) #, uspokojující

#cos (8x) = T_8 (xx) #

Hádám, že první způsob byl pravděpodobně to, po čem jsou.