Odpovědět:
Je to přesně jeden z kořenů #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # kde #T_n (x) # je # n #th Chebyshev polynom prvního druhu. To je jeden z čtyřiceti šesti kořenů:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 496402309536768 x ^ 32 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 38 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30-20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26-4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18-14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Vysvětlení:
# 58 ^ circ # není násobkem # 3 ^ circ #. Násobky # 1 ^ circ # které nejsou násobky # 3 ^ circ # nejsou konstruovatelné s přímkou a kompasem a jejich trig funkce nejsou výsledkem nějakého složení celých čísel pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a čtvercového zakořenění.
To neznamená, že nemůžeme zapsat nějaký výraz #cos 58 ^ circ #. Vezměme si znaménko stupně, které znamená faktor # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i t
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i t
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 t
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Není to užitečné.
Můžeme se pokusit napsat polynomiální rovnici, jejíž kořeny jsou #cos 58 ^ circ # ale je to asi příliš velké, aby se vešly.
# theta = 2 ^ circ # je #180#t kruhu. Od té doby #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # to znamená #cos 2 ^ circ # splňuje
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Pojďme to vyřešit # theta # První. #cos x = cos a # má kořeny # x = pm a + 360 ^ circ k, # celé číslo # k #.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k nebo theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
To je spousta kořenů a vidíme # theta = 58 ^ circ # mezi nimi.
Polynomy #T_n (x) #, nazvaný Chebyshev polynomy prvního druhu, uspokojit #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Mají celočíselné koeficienty. Známe několik prvních z dvojitých a trojitých vzorců:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # tak# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # tak# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # tak # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos quad quad quad # tak # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Existuje pěkný vztah rekurze, který můžeme ověřit:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Teoreticky je tedy můžeme generovat tak velké # n # jak nám záleží.
Pokud necháme # x = cos theta, # naší rovnici
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
se stává
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha nám rád sděluje, co to je. Napíšu rovnici, abych otestoval vykreslování matematiky:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 496402309536768 x ^ 32 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 38 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30-20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26-4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18-14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Ano, tato odpověď je dlouhá, díky Socraticovi. Anway, jeden z kořenů polynomu 46. stupně s celočíselnými koeficienty je # 58 ^ circ #.
