Jak hodnotíte integrál int (dt) / (t-4) ^ 2 od 1 do 5?

Odpovědět:

Nahradit # x = t-4 #

Odpověď je, pokud jste skutečně požádáni, abyste našli integrál:

#-4/3#

Pokud hledáte oblast, není to tak jednoduché.

Vysvětlení:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Soubor:

# t-4 = x #

Proto rozdíl:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

A limity:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Nahraďte tyto tři nalezené hodnoty:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

POZNÁMKA: NEČÍTAJTE TUTO, JAK SE NENÍ UZAVŘENO JAK NÁJDETE NAJDETE. Ačkoli by to mělo skutečně představovat oblast mezi oběma limity a protože je vždy pozitivní, měla být pozitivní. Tato funkce je však není spojitá v # x = 4 # takže tento integrál nepředstavuje oblast, pokud je to to, co jste chtěli. Je to trochu složitější.

Odpovědět:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Vysvětlení:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Odpovědět:

V závislosti na tom, kolik integrace jste se naučili "nejlepší" odpověď, bude buď: "integrál není definován" (dosud) nebo "integrál se liší"

Vysvětlení:

Když se pokusíme vyhodnotit # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, měli bychom zkontrolovat, zda je integrand definován v intervalu, přes který se integrujeme.

# 1 / (x-4) ^ 2 # není definováno v #4#, takže to je ne definován na celém intervalu #1,5#.

Brzy ve studiu počtu, definujeme integrál začátkem

"Nechat #F# být definován na intervalu # a, b #… '

Takže brzy v naší studii je nejlepší odpověď

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# není definován (dosud?)

Později tuto definici rozšiřujeme k tomu, co se nazývá "nesprávné integrály"

Tyto zahrnují integrály v neomezených intervalech (# (- oo, b #, # a, oo # a # (- oo, oo) #) a také intervaly, na kterých má integrand body, kde není definován.

Chcete-li (zkusit) vyhodnotit # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, hodnotíme dva nesprávné integrály # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Všimněte si, že integrand na nich stále není definován Zavřeno intervalech.)

Metoda má nahradit bod, kde je integrand nedefinován proměnnou, a poté vzít limit, jak se tato proměnná blíží číslu.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Najdeme první:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Hledám limit jako # brarr4 ^ - #, vidíme, že limit neexistuje. (Tak jako # brarr4 ^ - #, hodnota # -1 / (b-4) # zvyšuje bez vazby.)

Proto integrál #1,4# neexistuje tak integrál #1,5# neexistuje.

Říkáme, že integrál se liší.

Poznámka

Někteří by řekli: nyní máme definice nedochází k žádnému číslu, které by vyhovovalo definici.