Otázka # 67a77

Odpovědět:

# z ^ 11 = 32 + 32i #

Vysvětlení:

De Moivreova věta říká, že pro komplexní číslo

#z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cos (ntheta) + isin (ntheta)) #

Musíme tedy dostat naše komplexní číslo do modulu argument-argument.

Pro #z = x + yi #

# r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) a theta = tan ^ (- 1) (y / x) "(obvykle!)" # #

Říkám obvykle proto, že číslo může být v jiném kvadrantu a vyžaduje nějakou akci.

# r = sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (2) #

#theta = tan ^ (- 1) ((1) / (- 1)) = pi - tan ^ (- 1) (1) = (3pi) / 4 #

Tak #z = sqrt (2) (cos ((3pi) / 4) + isin ((3pi) / 4)) #

# z ^ (11) = (sqrt (2)) ^ 11 (cos ((33pi) / 4) + isin ((33pi) / 4)) #

# z ^ 11 = 2 ^ (11/2) (cos ((pi) / 4) + isin ((pi) / 4)) #

# z ^ 11 = 2 ^ (11/2) (1 / (sqrt (2)) + 1 / (sqrt (2)) i) = 2 ^ (11/2) (2 ^ (- 1/2) + 2 ^ (- 1/2) i) #

# z ^ 11 = 2 ^ (11 / 2-1 / 2) + 2 ^ (11 / 2-1 / 2) i = 2 ^ 5 + 2 ^ 5i #

# z ^ 11 = 32 + 32i #