Jaká je rovnice čáry, která je normální k polární křivce f (theta) = - 5theta ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) při theta = pi?

Odpovědět:

Linka je #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Vysvětlení:

Tento znak rovnice je odvozen z poněkud zdlouhavého procesu. Nejdříve načrtnu kroky, kterými bude derivace pokračovat, a pak tyto kroky proveďte.

Dostáváme funkci v polárních souřadnicích, #f (theta) #. Můžeme vzít derivaci, #f '(theta) #, ale abychom skutečně našli linii v karteziánských souřadnicích, budeme potřebovat # dy / dx #.

Můžeme najít # dy / dx # pomocí následující rovnice:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Pak připojíme tento svah do standardního kartézského formuláře:

#y = mx + b #

A vložte kartézské převedené polární souřadnice našeho bodu zájmu:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Několik věcí, které by měly být okamžitě zřejmé a ušetří nám čas dolů. Vezmeme čáru tečnou k bodu #theta = pi #. Tohle znamená tamto #sin (theta) = 0 # tak…

1) Naše rovnice pro # dy / dx # bude skutečně:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Naše rovnice pro karteziánské souřadnice našeho bodu se stanou:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Začneme-li skutečně řešit problém, pak je naším prvním obchodním cílem nalezení #f '(theta) #. Není to těžké, jen tři jednoduché deriváty s řetězcovým pravidlem platí pro dva:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Teď chceme vědět #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

A #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 s ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

S těmito v ruce jsme připraveni určit náš svah:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Můžeme to zapojit jako # m # v #y = mx + b #. Připomeňme si, že jsme to dříve rozhodli # y = 0 # a #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Můžeme kombinovat naše dříve určené # m # s naším nově určeným # b # dát rovnici pro řádek:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Částice je hozena přes trojúhelník od jednoho konce vodorovné základny a pastva vrchol padá na druhém konci základny. Jestliže alfa a beta jsou základní úhly a theta je úhel projekce, dokažte, že tan theta = tan alfa + tan beta?

Vzhledem k tomu, že částice je hozena s úhlem projekce theta přes trojúhelník DeltaACB od jednoho z jeho konců A horizontální základny AB zarovnané podél osy X a nakonec padá na druhý konec Bof základny, pasoucí se na vrcholu C (x, y) Nechť u je rychlost projekce, T je čas letu, R = AB je horizontální rozsah a t je čas, který částice dosáhne při C (x, y) Horizontální složka rychlosti projekce - > ucostheta Svislá složka rychlosti projekce -> usintheta S ohledem na pohyb pod gravitací bez odporu vzduchu můžeme

Jaká je rovnice tangenciální linie r = tan ^ 2 (theta) - sin (theta-pi) při theta = pi / 4?

R = (2 + sqrt2) / 2 r = tan ^ 2 theta-sin (theta - pi) při pi / 4 r = tan ^ 2 (pi / 4) - sin (pi / 4 -pi) r = 1 ^ 2 - sin ((- 3pi) / 4) r = 1-sin ((5pi) / 4) r = 1 - (- sqrt2 / 2) r = 1 + sqrt2 / 2 r = (2 + sqrt2) / 2

Jak převedete r = 3theta - tan theta na karteziánskou formu?

X² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y> 0 Viz prosím vysvětlení pro další dvě rovnice r = 3theta - tan (theta) Náhrada sqrt (x² + y²) pro r: sqrt (x² + y²) = 3theta - tan (theta) Obě strany : x² + y² = (3theta - tan (theta)) ² Náhradník y / x pro tan (theta): x² + y² = (3theta - y / x) ²; x! = 0 Nahraďte tan ^ -1 (y / x) pro theta. POZNÁMKA: Musíme upravit pro theta vrácenou inverzní tečnou funkcí založenou na kvadrantu: První kvadrant: x² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x)