Základ rovnoramenného trojúhelníku leží na přímce x-2y = 6, opačný vrchol je (1,5) a sklon jedné strany je 3. Jak zjistíte souřadnice ostatních vrcholů?

Odpovědět:

Dva vrcholy jsou #(-2,-4)# a #(10,2)#

Vysvětlení:

Nejdříve se podívejme na střed základny. Jako základna # x-2y = 6 #, kolmý od vrcholu #(1,5)# bude mít rovnici # 2x + y = k # a jak prochází #(1,5)#, # k = 2 * 1 + 5 = 7 #. Proto rovnice kolmice od vrcholu k základně je # 2x + y = 7 #.

Průnik # x-2y = 6 # a # 2x + y = 7 # nám dá střed základny. K tomu, řešení těchto rovnic (tím, že hodnota # x = 2y + 6 # ve druhé rovnici # 2x + y = 7 #) nám dává

# 2 (2y + 6) + y = 7 #

nebo # 4y + 12 + y = 7 #

nebo # 5y = -5 #.

Proto, # y = -1 # a uvedení # x = 2y + 6 #, dostaneme # x = 4 #střední bod báze je #(4,-1)#.

Rovnice čáry, která má sklon #3# je # y = 3x + c # a jak prochází #(1,5)#, # c = y-3x = 5-1 * 3 = 2 # tj. rovnice přímky je # y = 3x + 2 #

Průnik # x-2y = 6 # a # y = 3x + 2 #, měl by nám dát jeden z vrcholů. Vyřešíme je # y = 3 (2y + 6) + 2 # nebo # y = 6y + 20 # nebo # y = -4 #. Pak # x = 2 * (- 4) + 6 = -2 # a tedy jeden vrchol je na #(-2,-4)#.

Víme, že jeden z vrcholů na základně je #(-2,-4)#, nechte jiný vrchol # (a, b) # a tedy střed bude dán # ((a-2) / 2, (b-4) / 2) #. Ale máme střední bod #(4,-1)#.

Proto # (a-2) / 2 = 4 # a # (b-4) / 2 = -1 # nebo # a = 10 # a # b = 2 #.

Proto jsou dva vrcholy #(-2,-4)# a #(10,2)#