Jak řešit 3sin2x + 2cos2x = 3? Je možné ji převést na sinx = k?

Odpovědět:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # nebo #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

nebo pokud dáváte přednost aproximaci, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # nebo #x cca 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #

Samozřejmě pro celé číslo # k #.

Vysvětlení:

Pro tip: Je lepší je převést do podoby #cos x = cos a # který má řešení #x = + 360 ^ circ k quad # pro celé číslo # k #.

Tenhle již je # 2x # tak je to snazší nechat to tak.

Lineární kombinace sinu a kosinu stejného úhlu jsou fázově posunuté kosiny.

# 3 sin (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Pojďme # theta = arctan (3/2) cca 56,31 ^ circ #

Opravdu to znamená ten první kvadrant.

(Kdybychom chtěli dělat sinus místo kosinu, jako bychom to dělali, použili bychom #arctan (2/3) #.)

My máme #cos theta = 2 / sqrt {13} # a #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circ - theta) + 360 ° cirk k #

# 2x = theta pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # nebo #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # nebo #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Od té doby #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # nebo #x cca 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #