Máme x @ y = ax + ay-xy, x, y v RR a a je reálný parametr. Hodnoty, pro které je [0,1] stabilní součástí (RR, @)?

Odpovědět:

#a in 1/2, 1 # nebo #a = 1 # pokud chceme #@# na mapu # 0, 1 xx 0, 1 # na #0, 1#.

Vysvětlení:

Vzhledem k:

#x @ y = ax + ay-xy #

Pokud správně chápu otázku, chceme určit hodnoty #A# pro který:

#x, yv 0, 1 rarr x @ yv 0, 1 #

Shledáváme:

# 1 @ = 2a-1 v 0, 1 #

Proto #a in 1/2, 1 #

Všimněte si, že:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # a # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Proto maximální a / nebo minimální hodnoty #x @ y # když #x, yv 0, 1 # nastane, když #x, yv {0, a, 1} #

Předpokládat #a in 1/2, 1 #

Shledáváme:

# 0 @ 0 = 0 v 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 v 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a v 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 v 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 v 0, 1 #

# 1 @ = 2a-1 v 0, 1 #

Daná podmínka je tedy nezbytná a dostatečná.

Navíc, pokud chceme #x @ y # být na #0, 1# pak požadujeme # a = 1 #.