Prosím, někdo pomůže vyřešit problém?

Odpovědět:

Vyzkoušejte změnu # x = tan u #

Viz. níže

Vysvětlení:

Víme, že # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Podle navrhované změny máme

# dx = sec ^ 2u du #. Umožňuje nahradit v integrálu

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Odvolání změny:

# u = arctanx # a konečně máme

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Odpovědět:

#color (modrá) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Vysvětlení:

Pro vyřešení tohoto integrálu se pokusme použít Trigonometrickou substituci. K tomu budeme konstruovat pravoúhlý trojúhelník #Delta ABC # a označit strany takovým způsobem, že pomocí Pythagorova vzorce můžeme odvodit výrazy, které v současnosti vidíme v argumentu integrálu takto:

Úhel # / _ B = theta # má opačnou stranu #X# a sousední straně #1#. Použití Pythagorova vzorce:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # výsledky:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # jak je znázorněno.

Nyní napíšeme tři nejzákladnější goniometrické funkce # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Nyní musíme tyto rovnice použít k řešení různých částí integrálního argumentu v goniometrických termínech. Použijme # tantheta #:

# tantheta = x #

Vezmeme derivace obou stran:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Od # costheta # rovnici, kterou můžeme vyřešit #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Pokud vzroste obě strany této rovnice na moc #3# dostaneme:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Nyní můžeme nahradit to, co jsme vypočítali, do integrálu problému, aby se z něj stal goniometrický integrál:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (červená) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (červená) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Nyní můžeme nahradit # sintheta # a otočit naši odpověď zpět do algebraického výrazu z hlediska #X#:

#color (modrá) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #