Otázka # 059f6

Odpovědět:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Vysvětlení:

Taylorův vývoj funkce #F# v #A# je #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Mějte na paměti, že je to mocnina, takže to nemusí nutně konvergovat #F# nebo dokonce konvergovat někde jinde než v # x = a #.

Nejprve potřebujeme deriváty #F# chceme-li se pokusit napsat skutečný vzorec jeho Taylorovy řady.

Po kalkulu a indukčním důkazu to můžeme říci #AAk v NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # a #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Takže po nějakém hrubém a malém zjednodušení se zdá, že Taylorova série #F# je #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.