Jaké jsou vertikální a horizontální asymptoty y = (x + 3) / (x ^ 2-9)?

Odpovědět:

vertikální asymptota na # x = 3 #

horizontální asymptota na # y = 0 #

díra na # x = -3 #

Vysvětlení:

#y = (x + 3) / (x ^ 2-9) #

První faktor:

#y = ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) #

Od faktoru # x + 3 # zruší to diskontinuitu nebo díru, faktor # x-3 # nezruší, takže je to asymptota:

# x-3 = 0 #

vertikální asymptota na # x = 3 #

Nyní zrušíme faktory a uvidíme, co funkce dělá, jak x dostane opravdu velké v kladném nebo záporném:

#x -> + -oo, y ->? #

#y = zrušit ((x + 3)) / (zrušit ((x + 3)) (x-3)) = 1 / (x-3) #

Jak vidíte, redukovaná forma je prostě #1# přes některé číslo #X#, můžeme ignorovat #-3# protože kdy #X# je obrovský, je zanedbatelný.

Víme, že: #x -> + - oo, 1 / x -> 0 # naše původní funkce má tedy stejné chování:

#x -> + - oo, ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) -> 0 #

Funkce má tedy horizontální asymptotu na # y = 0 #

graf {y = (x + 3) / (x ^ 2-9) -10, 10, -5, 5}