Počet hodnot parametru alfa v [0, 2pi], pro které je kvadratická funkce (sin alfa) x ^ 2 + 2 cos alfa x + 1/2 (cos alfa + sin alfa) čtvercem lineární funkce je ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Pokud víme, že výraz musí být čtvercem lineární formy

# (sin alfa) x ^ 2 + 2 cos alfa x + 1/2 (cos alfa + sin alfa) = (ax + b) ^ 2 #

pak máme koeficienty seskupení, které máme

# (alfa ^ 2-sin (alfa)) x ^ 2 + (2ab-2cos alfa) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0 #

takže podmínka je

# {(a ^ 2-sin (alfa) = 0), (ab-cos alfa = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0):} #

To lze vyřešit získáním hodnot pro # a, b # a nahrazení.

Víme, že # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alfa + 1 / (sin alfa + cos alfa) # a

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alfa # Nyní řešíme

# z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Řešení a nahrazení # a ^ 2 = sinalpha # získáme

#a = b = pm 1 / kořen (4) (2), alfa = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / root (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) kořen (4) (5)), alfa = pi-tan ^ -1 (2) #