Jaká je hodnota? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Odpovědět:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Vysvětlení:

Hledáme:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Čitatel i jmenovatel2 #rarr 0 # tak jako #x rarr 0 #. limit # L # (pokud existuje) má neurčitou formu #0/0#a následně můžeme použít pravidlo L'Hôpital, abychom získali:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Nyní, s použitím základní věty kalkulu:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

A,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

A tak:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Opět se jedná o neurčitou formu #0/0#a následně můžeme použít pravidlo L'Hôpital, abychom získali:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

= lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Což můžeme hodnotit:

# L = (0) / (2-0) = 0 #