Jaká je arclength r = 4theta na theta v [-pi / 4, pi]?

Odpovědět:

#approx 27.879 #

Vysvětlení:

Toto je metoda osnovy. Broušení některých prací bylo provedeno počítačem.

Délka oblouku #s = int dot s t

a #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Teď, pro #vec r = 4 theta t

#vec v = dot r hat r + r te theta hat theta #

# = 4 teeta theta t

# = 4 teeta theta (klobouk r + theta) t

Tak #dot s = 4 bod theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

Délka oblouku #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2)

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) t

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # počítačové řešení. Tuto metodu naleznete zde

#approx 27.879 # počítačové řešení

Jaká je arclength r = 3 / 4theta na theta v [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) jednotky. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength je dán vztahem: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Zjednodušte: L = 3 / 4int-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Ze symetrie: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Aplikujte substituční theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Toto je známý integrál: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Reverze substituce: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Vložte meze

Ukažte, že (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Viz níže. Nechť 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), zde r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) a tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) nebo alfa = theta / 2 pak 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) a můžeme psát (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n pomocí DE MOivreova věta jako r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ nc

Pokud sin theta + cos theta = p, co je sin ^ 2 theta + cos ^ 4theta z hlediska p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 tak sinthetacostheta = (p ^ 2-1) / 2 nyní sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta a uvedení všech dohromady sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2