Jaká je arclength r = 3 / 4theta na theta v [-pi, pi]?

Odpovědět:

# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) # Jednotky.

Vysvětlení:

# r = 3 / 4theta #

# r ^ 2 = 9 / 16th ^ 2 #

# r '= 3/4 #

# (r ') ^ 2 = 9/16 #

Délka oblouku je dána vztahem:

# L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta #

Zjednodušit:

# L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

Ze symetrie:

# L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

Aplikujte substituci # theta = tanphi #:

# L = 3 / 2sint ^ 3phidphi #

Toto je známý integrál:

# L = 3/4 secphitanphi + ln | secphi + tanphi | #

Obrácení substituce:

# L = 3/4 thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) | _0 ^ pi #

Vložte limity integrace:

# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) #

Jaká je arclength r = 4theta na theta v [-pi / 4, pi]?

Cca 27.879 Toto je metoda osnovy. Broušení některých prací bylo provedeno počítačem. Délka oblouku s = int dot s dt a tečka s = sqrt (vec v * vec v) Nyní, pro vec r = 4 theta t hat r + 4 theta dot theta = theta = 4 tečka theta (hat r + theta hat theta) Takže tečka s = 4 bodka theta sqrt (1 + theta ^ 2) Délka oblouku s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) ) sqrt (1 + theta ^ 2) bod theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] (- pi / 4) ^ (pi) počítačové řešení. Viz Youtube link zde pro metodu cca 27.879 počít

Ukažte, že (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Viz níže. Nechť 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), zde r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) a tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) nebo alfa = theta / 2 pak 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) a můžeme psát (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n pomocí DE MOivreova věta jako r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ nc

Pokud sin theta + cos theta = p, co je sin ^ 2 theta + cos ^ 4theta z hlediska p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 tak sinthetacostheta = (p ^ 2-1) / 2 nyní sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta a uvedení všech dohromady sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2