Funkce 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 je maxima, minima nebo inflexní bod?

Odpovědět:

Žádné minuty nebo maxima
Bod inflexe na #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Vysvětlení:

Miny a Maxes

Za dané #X#-hodnota (řekněme to #C#) je maximální nebo min pro danou funkci, musí splňovat následující:

#f '(c) = 0 # nebo nedefinováno.

Tyto hodnoty #C# jsou také nazývány vaše kritické body.

Poznámka: Ne všechny kritické body jsou max / min, ale všechny max / min jsou kritické body

Najdeme je tedy pro vaši funkci:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Toto není faktor, tak zkusme kvadratický vzorec:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6)) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… a můžeme tam zastavit. Jak vidíte, skončíme s negativním číslem pod druhou odmocninou. Proto existují žádné skutečné kritické body pro tuto funkci.

Inflexní body

Pojďme najít body skloňování. Jedná se o body, kde má graf změnu konkávnosti (nebo zakřivení). Pro bod (zavolejte to) #C#) jako inflexní bod, musí splňovat následující podmínky:

#f '' (c) = 0 #.

Poznámka: Ne všechny tyto body jsou body skloňování, ale všechny body skloňování musí toto splňovat.

Najdeme je tedy takto:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Teď musíme zkontrolovat, zda je to ve skutečnosti inflexní bod. Musíme to ověřit #f '' (x) # ve skutečnosti přepne znak na #x = -2 / 3 #.

Takže nechme testovací hodnoty vpravo a vlevo #x = -2 / 3 #:

Že jo:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Vlevo, odjet:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Nezajímá nás tolik, jaké jsou skutečné hodnoty, ale jak můžeme jasně vidět, napravo od něj je kladné číslo #x = -2 / 3 #a záporné číslo vlevo #x = -2 / 3 #. Je tedy skutečně bodem skloňování.

Shrnout, #f (x) # nemá žádné kritické body (nebo min nebo max), ale má bod inflexe na #x = -2 / 3 #.

Podívejme se na graf #f (x) # a uvidíte, co tyto výsledky znamenají:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Tento graf se zvyšuje všude, takže nemá žádné místo, kde derivace = 0. Nicméně, to jde od zakřivené dolů (konkávní dolů) na zakřivené nahoru (konkávní nahoru) na #x = -2 / 3 #.

Doufám, že to pomohlo:)