Pro jaké hodnoty x je f (x) = (- 2x) / (x-1) konkávní nebo konvexní?

Odpovědět:

Studujte znamení 2. derivace.

Pro #x <1 # funkce je konkávní.

Pro #x> 1 # funkce je konvexní.

Vysvětlení:

Je třeba studovat zakřivení nalezením 2. derivace.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

První derivace:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

Druhá derivace:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Teď znamení #f '' (x) # musí být studována. Jmenovatel je kladný, když:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (x-1) ^ 3 <0 #

# (x-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#x <1 #

Pro #x <1 # funkce je konkávní.

Pro #x> 1 # funkce je konvexní.

Poznámka: bod # x = 1 # byla vyloučena, protože funkce #f (x) # nelze definovat pro # x = 1 #, protože denumirator by se stal 0.

Zde je graf, který můžete vidět očima:

graf {(- 2x) / (x-1) -14,08, 17,95, -7,36, 8,66}