Pro jaké hodnoty x je f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkávní nebo konvexní?

Odpovědět:

Najděte druhou derivaci a zkontrolujte její označení. Je to konvexní, pokud je pozitivní a konkávní, pokud je negativní.

Konkávní pro:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konvexní pro:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Vysvětlení:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

První derivace:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Vzít # e ^ -x # jako společný faktor pro zjednodušení dalšího odvození:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Druhá derivace:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Nyní musíme studovat znamení. Můžeme přepnout znak pro snadné řešení kvadratických:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Chcete-li vytvořit kvadratický produkt:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (A)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Proto:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2)) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Hodnota #X# mezi těmito dvěma řešeními dává negativní kvadratický znak, zatímco jakákoli jiná hodnota #X# je to pozitivní.
• Libovolná hodnota #X# dělá # e ^ -x # pozitivní.
• Záporné znaménko na začátku funkce převrátí všechny znaky.

Proto, #f '' (x) # je:

Pozitivní, proto konkávní pro:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativní, proto konvexní pro:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #