Pokud se poloměr koule zvětšuje rychlostí 4 cm za sekundu, jak rychle se objem zvyšuje, když je průměr 80 cm?

Odpovědět:

12,800 cm3s

Vysvětlení:

Jedná se o klasické problémy souvisejících cen. Myšlenka Související ceny je, že máte geometrický model, který se nemění, i když se čísla mění.

Tento tvar například zůstane koulí, i když změní velikost. Vztah mezi objemem místa a jeho poloměrem je

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Takhle dlouho geometrický vztah nemění se, jak koule roste, pak můžeme tento vztah odvodit implicitně a najít nový vztah mezi mírou změn.

Implicitní diferenciace je tam, kde odvodíme každou proměnnou ve vzorci a v tomto případě odvodíme vzorec s ohledem na čas.

Tak vezmeme derivaci naší sféry:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Vlastně jsme dostali # (dr) / (dt) #. To je # 4 (cm) / s #.

Zajímá nás okamžik, kdy průměr je 80 cm, což je, když poloměr bude 40 cm.

Rychlost nárůstu objemu je # (dV) / (dt) #, což je to, co hledáme, takže:

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pi (40 cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 12 800 (cm ^ 3) / s #

A jednotky dokonce fungují správně, protože bychom měli dostat objem rozdělený časem.

Snad to pomůže.