Poloměr sférického balónu se zvyšuje rychlostí 2 centimetry za minutu. Jak rychle se mění objem, když je poloměr 14 centimetrů?

Odpovědět:

# 1568 * pi # cc / minutu

Vysvětlení:

Pokud je poloměr r, pak rychlost změny r vzhledem k času t, # d / dt (r) = 2 # cm / min

Objem jako funkce poloměru r pro kulový předmět je

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Musíme najít # d / dt (V) # při r = 14 cm

Nyní, # d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) #

Ale # d / dt (r) # = 2 cm / min. Tím pádem, # d / dt (V) # při r = 14 cm je:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # cm3 / min # = 1568 * pi # cc / minutu

Poloměr sférického balónu se zvyšuje o 5 cm / s. V jaké míře je vzduch vháněn do balónu v okamžiku, kdy je poloměr 13 cm?

Jedná se o problém Související změny (změny). Rychlost, s jakou je vzduch vháněn, bude měřena v objemu za jednotku času. To je rychlost změny objemu vzhledem k času. Rychlost, s jakou je vzduch vháněn, je stejná jako rychlost, kterou roste objem balónu. V = 4/3 pi r ^ 3 Známe (dr) / (dt) = 5 "cm / s". Chceme (dV) / (dt), když r = 13 "cm". Diferencovat V = 4/3 pi r ^ 3 implicitně s ohledem na td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Zapojte to, co víte a vyřešte to, co neznáte. (dV) /

K dispozici je 5 růžových balónků a 5 modrých balónků. Pokud jsou náhodně vybrány dva balónky, jaká by byla pravděpodobnost získání růžového balónu a pak modrého balónu? A Existuje 5 růžových balónků a 5 modrých balónků. Pokud jsou náhodně vybrány dva balóny

1/4 Protože je celkem 10 balónků, 5 růžových a 5 modrých, šance na získání růžového balónu je 5/10 = (1/2) a šance na získání modrého balónu je 5/10 = (1 / 2) Aby bylo možné vidět šanci na vyzvednutí růžového balónu a pak modrý balónek vynásobit šance na vychystání obou: (1/2) * (1/2) = (1/4)

Voda unikající na podlahu tvoří kruhový bazén. Poloměr bazénu se zvyšuje rychlostí 4 cm / min. Jak rychle roste plocha bazénu, když je poloměr 5 cm?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Nejdříve bychom měli začít rovnicí, kterou známe v oblasti kružnice, bazénu a jeho poloměru: A = pir ^ 2 Chceme však zjistit, jak rychle se oblast bazén roste, což zní hodně jako rychlost ... která zní hodně jako derivát. Pokud vezmeme derivaci A = pir ^ 2 s ohledem na čas, t, vidíme, že: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Nezapomeňte, že pravidlo řetězce platí vpravo ruka, s r ^ 2 - to je podobné implicitní diferenciaci.) Takže chceme určit (dA) / dt. Otázka nám řekla, že (dr) / dt = 4, když říkal,