Jaká zábavná, užitečná, matematická skutečnost víte, že se ve škole běžně neučí?

Odpovědět:

Jak hodnotit "věže exponentů", jako je #2^(2^(2^2))#a jak zpracovat poslední číslici # 2 ^ n, # # ninNN #.

Vysvětlení:

Abychom mohli tyto „věže“ vyhodnotit, začneme nahoře a pracujeme dolů.

Tak:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Na podobné, ale poněkud nesouvisející poznámce také vím, jak zpracovat poslední číslice #2# zvýšena na jakýkoliv přírodní exponent. Poslední číslice #2# vzrostl na něco vždy mezi čtyřmi hodnotami: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Takže pokud chcete najít poslední číslici # 2 ^ n #, zjistit, které místo je v cyklu, a budete znát jeho poslední číslici.

Odpovědět:

Li #n> 0 # a #A# je aproximace #sqrt (n) #, pak:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #)

kde #b = n-a ^ 2 #

Vysvětlení:

Předpokládejme, že chceme najít druhou odmocninu nějakého čísla #n> 0 #.

Dále bychom chtěli, aby výsledek byl nějakým pokračujícím zlomkem, který se opakuje v každém kroku.

Snaž se:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #)

#color (bílá) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #)

#color (bílá) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Odčítat #A# z obou konců získáte:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Vynásobte obě strany podle #sqrt (n) + a # dostat:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Takže když # a ^ 2 # je o něco méně než # n #, pak # b # bude malý a pokračující zlomek bude rychlejší.

Například, pokud máme # n = 28 # a vyberte # a = 5 #, pak dostaneme:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Tak:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #)

který nám dává aproximace:

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~ ~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~ ~ 5.2915094 #

Kalkulačka mi řekne #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Tak se to zejména rychle nekonverguje.

Případně bychom mohli dát # n = 28 # a # a = 127/24 # najít:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Tak:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #)

dává nám přibližné údaje:

#sqrt (28) ~ ~ 127/24 = 5,291bar (6) #

#sqrt (28) ~ ~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~ ~ 5.29150262467 #

To je mnohem rychlejší.

Odpovědět:

Můžete najít aproximace k odmocninám s použitím rekurzivně definované sekvence.

Vysvětlení:

#barva bílá)()#

Metoda

Vzhledem k kladnému číslu # n # což není dokonalé náměstí:

• Nechat #p = floor (sqrt (n)) # být největší kladné číslo, jehož čtverec nepřesahuje # n #.

• Nechat #q = n-p ^ 2 #

• Definujte posloupnost celých čísel podle:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "pro" i> = 1):} #

Pak poměr mezi po sobě následujícími termíny sekvence bude mít tendenci # p + sqrt (n) #

#barva bílá)()#

Příklad

Nechat # n = 7 #.

Pak #p = podlaha (sqrt (7)) = 2 #, od té doby #2^2=4 < 7# ale #3^2 = 9 > 7#.

Pak # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Takže naše sekvence začíná:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Teoreticky by poměr mezi po sobě jdoucími termíny měl směřovat # 2 + sqrt (7) #

Uvidíme:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Všimněte si, že # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#barva bílá)()#

Jak to funguje

Předpokládejme, že máme sekvenci definovanou danými hodnotami # a_1, a_2 # a pravidlo:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

pro některé konstanty # p # a # q #.

Zvažte rovnici:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Kořeny této rovnice jsou:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Pak jakákoliv posloupnost s obecným termínem # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # splní pravidlo opakování, které jsme specifikovali.

Další řešení:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

pro #A# a # B #.

Shledáváme:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

a tedy:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Takže s těmito hodnotami # x_1, x_2, A, B # my máme:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Li #q <3p ^ 2 # pak #abs (x_2) <1 # a poměr mezi po sobě následujícími termíny bude mít tendenci # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Odpovědět:

Modulární dělení

Vysvětlení:

Modulární dělení je stejné jako dělení kromě odpovědi je zbytek místo skutečné hodnoty. Spíše než #-:# použijte symbol #%# symbol.

Například, obvykle, kdybyste měli řešit #16-:5# Dostaneš se #3# zbytek #1# nebo #3.2#. Při použití modulárního rozdělení však #16%5=1#.

Odpovědět:

Vyhodnocení čtverců se součtem

Vysvětlení:

Normálně byste měli znát čtverce jako #5^2=25#. Nicméně, když se čísla zvětší, například #25^2#, je těžší znát z hlavy.

Uvědomil jsem si, že po chvíli jsou čtverce jen součty lichých čísel.

Tím myslím:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # kde # k # je základní hodnota mínus #1#

Tak #5^2# může být napsáno jako:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

To vám dá:

#1+3+5+7+9#

To je ve skutečnosti #25#.

Vzhledem k tomu, že čísla se vždy zvyšují o #2#, Pak jsem mohl přidat první a poslední číslo a pak násobit # k / 2 #.

Tak pro #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Takže můžu prostě udělat #(49+1)(25/2)# a dostat #25^2# který je #625#.

Není to opravdu praktické, ale je zajímavé to vědět.

#barva bílá)()#

Bonus

Víme, že:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n termíny" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

nám umožňuje řešit některé problémy o rozdílech čtverců.

Například, jaká jsou všechna řešení v kladných celých číslech #m, n # z # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

To snižuje na zjištění, jaké součty po sobě jdoucích lichých celých čísel se sčítají #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "průměrný 20" #

#color (bílá) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (bílá) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (bílá) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "průměrný 10" #

#color (bílá) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (bílá) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (bílá) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #