Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = xsqrt (25-x ^ 2) v [-4,5]?

Odpovědět:

Absolutní minimum je #-25/2# (v # x = -sqrt (25/2) #). Absolutní maximum je #25/2# (v # x = sqrt (25/2) #).

Vysvětlení:

#f (-4) = -12 # a #f (5) = 0 #

#f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (zrušit (2) sqrt (25-x ^ 2)) * - zrušit (2) x #

# = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) #

Kritická čísla #F# jsou #x = + - sqrt (25/2) # Oba jsou v #-4,5#..

#f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) #

# = -sqrt (25/2) sqrt (25/2) = -25 / 2 #

Podle symetrie (#F# je zvláštní), #f (sqrt (25/2)) = 25/2 #

Souhrn:

#f (-4) = -12 #

#f (-sqrt (25/2)) = -25 / 2 #

#f (sqrt (25/2)) = 25/2 #

#f (5) = 0 #

Absolutní minimum je #-25/2# (v # x = -sqrt (25/2) #).

Absolutní maximum je #25/2# (v # x = sqrt (25/2) #).

Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 v [0,3]?

Na [0,3], maximum je 19 (při x = 3) a minimum je -1 (při x = 1). Abychom našli absolutní extrémy (spojité) funkce na uzavřeném intervalu, víme, že extrém se musí vyskytovat buď na kortikálních číslech v intervalu, nebo v koncových bodech intervalu. f (x) = x ^ 3-3x + 1 má derivaci f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 není nikdy definováno a 3x ^ 2-3 = 0 při x = + - 1. Protože -1 není v intervalu [0,3], zahojíme ho. Jediné kritické číslo, které je třeba vzít v úvahu, je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 a f (3) = 19. Maximáln

Co věta zaručuje existenci absolutní maximální hodnoty a absolutní minimální hodnotu pro f?

Obecně neexistuje žádná záruka existence absolutní maximální nebo minimální hodnoty f. Jestliže f je spojitý na uzavřeném intervalu [a, b] (to je: na uzavřeném a ohraničeném intervalu), pak věta Extreme Value Theorem zaručuje existenci absolutní maximální nebo minimální hodnoty f na intervalu [a, b] .

Jak zjistíte absolutní maximální a absolutní minimální hodnoty f v daném intervalu: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Reqd. extrémní hodnoty jsou -25/2 a 25/2. Používáme substituci t = 5sinx, tv [-1,5]. Všimněte si, že tato substituce je přípustná, protože t v [-1,5] rArr-1 <= t <= 5rArr-1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1, což platí dobře, jako rozsah hříchové zábavy. je [-1,1]. Nyní, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sxx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x Protože, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 Z tohoto důvodu, reqd. končetiny jsou -25/2 a 25/2.