Jaká je identita půl úhlu?

Identity polovičního úhlu jsou definovány následovně:

#hhff (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# pro kvadranty Já a II

#(-)# pro kvadranty III a IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# pro kvadranty Já a IV

#(-)# pro kvadranty II a III

#hhff (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #)

#(+)# pro kvadranty Já a III

#(-)# pro kvadranty II a IV

Můžeme je odvodit z následujících identit:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (modrá) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Vědět jak # sinx # je pozitivní #0-180^@# a negativní pro #180-360^@#, víme, že pro kvadranty je to pozitivní Já a II a negativní pro III a IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (modrá) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Vědět jak # cosx # je pozitivní #0-90^@# a #270-360^@#a negativní pro #90-270^@#, víme, že pro kvadranty je to pozitivní Já a IV a negativní pro II a III.

#tan (x / 2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / (pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

#color (modrá) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Vidíme, že pokud vezmeme podmínky pro kladné a záporné hodnoty z # sinx # a # cosx # a rozdělíme je, dostaneme, že toto je pozitivní pro kvadranty Já a III a negativní pro II a IV.