Předpokládejme, že S1 a S2 jsou nenulové podprostory, přičemž S1 je obsaženo uvnitř S2 a předpokládáme, že dim (S2) = 3?

Odpovědět:

#1. {1, 2}#

#2. {1, 2, 3}#

Vysvětlení:

Trik je zde poznamenat, že daný subprostor # U # vektorového prostoru #PROTI#, my máme #dim (U) <= dim (V) #. Snadný způsob, jak to vidět, je poznamenat, že každý základ # U # bude stále lineárně nezávislé #PROTI#, a proto musí být buď základem #PROTI# (li # U = V #) nebo mají méně prvků než základ #PROTI#.

Pro obě části problému máme # S_1subeS_2 #, to znamená, že výše #dim (S_1) <= dim (S_2) = 3 #. Navíc víme # S_1 # je nenulový, význam #dim (S_1)> 0 #.

#1.# Tak jako # S_1! = S_2 #, víme, že nerovnost #dim (S_1) <dim (S_2) # je přísný. Tím pádem # 0 <dim (S_1) <3 #, význam #dim (S_1) v {1,2} #.

#2.# Jediné, co se pro tuto část změnilo, je, že nyní máme možnost # S_1 = S_2 #. To mění nerovnost na # 0 <dim (S_1) <= 3 #, význam # S_1in {1,2,3} #

Předpokládejme, že x a y jsou nenulová reálná čísla taková, že (2x + y) / (x-2y) = - 3. Jaká je hodnota (2x ^ 2-4y + 8) / (y ^ 2-2x + 4)? A. -1 B. 2 C. 3 D. 4

Odpověď je možnost (B) Pokud (2x + y) / (x-2y) = - 3 Pak násobte 2x + y = -3 (x-2y) 2x + y = -3x + 6y 5x = 5y x = y Proto jako y = x (2x ^ 2-4y + 8) / (y ^ 2-2x + 4) = (2 (x ^ 2-2x + 4)) / (x ^ 2-2x + 4) ( 2 (zrušit (x ^ 2-2x + 4))) / zrušit (x ^ 2-2x + 4) = 2 Odpověď je možnost (B)

Řekněme, že K a L jsou dva rozdílné subprostorové reálné vektorové prostory V. Pokud je dána dim (K) = dim (L) = 4, jak určit minimální rozměry jsou možné pro V?

5 Nechť čtyři vektory k_1, k_2, k_3 a k_4 tvoří základ vektorového prostoru K. Protože K je podprostor V, tyto čtyři vektory tvoří lineárně nezávislou množinu v V. Protože L je podprostor V odlišný od K , musí existovat alespoň jeden prvek, řekněme l_1 v L, který není v K, tj. který není lineární kombinací k_1, k_2, k_3 a k_4. Takže množina {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} je lineární nezávislá množina vektorů v V. Tudíž rozměr V je alespoň 5! Ve skutečnosti je možné, aby rozsah {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} byl celý vektorov

Která z následujících tvrzení jsou pravdivá / nepravdivá? (i) R² má nekonečně mnoho nenulových, správných vektorových podprostorů (ii) Každý systém homogenních lineárních rovnic má nenulové řešení.

"(i) Pravda." "(ii) Falešné." "Důkazy." "(i) Můžeme vytvořit takovou množinu podprostorů:" 1 "" celá r v RR, "let:" qad quad V_r = x, r x) v RR ^ 2. "[Geometricky" V_r "je přímka procházející počátkem" RR ^ 2, "svahu" r.] "2) Zkontrolujeme, zda tyto podprostory ospravedlňují tvrzení (i)." "3) Jasně:" qquad quad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. "4) Zkontrolujte, zda:" qquad quad V_r "je správný podprostor" ^ ^ 2. "Let:"