Řekněme, že K a L jsou dva rozdílné subprostorové reálné vektorové prostory V. Pokud je dána dim (K) = dim (L) = 4, jak určit minimální rozměry jsou možné pro V?

Odpovědět:

5

Vysvětlení:

Nechte čtyři vektory # k_1, k_2, k_3 # a # k_4 # tvoří základ vektorového prostoru # K #. Od té doby # K # je podprostor #PROTI#tyto čtyři vektory tvoří lineárně nezávislý soubor #PROTI#. Od té doby # L # je podprostor #PROTI# odlišný od # K #musí existovat alespoň jeden prvek, řekněme # l_1 # v # L #, která není v # K #což není lineární kombinace # k_1, k_2, k_3 # a # k_4 #.

Takže soubor # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # je lineární nezávislá množina vektorů v #PROTI#. Tak dimenzionálnost #PROTI# je alespoň 5!

Ve skutečnosti, to je možné pro rozpětí # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # být celý vektorový prostor #PROTI# - tak musí být minimální počet základních vektorů 5.

Jako příklad, ať #PROTI# být # RR ^ 5 # a nechte # K # a #PROTI# sestává z vektorů forem

# ((a), (beta), (gama), (delta), (0)) # a # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Je snadné vidět, že vektory

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#a #((0),(0),(0),(0),(0))#

tvoří základ # K #. Přidejte vektor #((0),(0),(0),(0),(0))#a získáte základ pro celý vektorový prostor,