Jak se ukáže sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Odpovědět:

Dělejte nějaké konjugované násobení, využijte trig identity a zjednodušte. Viz. níže.

Vysvětlení:

Připomeňme si Pythagorean Identity # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Rozdělte obě strany podle # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Využijeme této důležité identity.

Zaměřme se na tento výraz:

# secx + 1 #

Toto je ekvivalentní # (secx + 1) / 1 #. Vynásobte horní a dolní část # secx-1 # (tato technika je známá jako konjugované násobení):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

Z # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #Vidíme to # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Proto můžeme čitatel nahradit číslem # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Náš problém nyní zní:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Máme společný jmenovatel, takže můžeme přidat zlomky na levé straně:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Tečny se zruší:

# (zrušení (tan ^ 2x) + 1-zrušení (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Opuštění nás:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Od té doby # secx = 1 / cosx #, můžeme toto přepsat jako:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Přidáním zlomků do jmenovatele vidíme:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Použití vlastnosti # 1 / (a / b) = b / a #, my máme:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

A to je důkaz.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (červená) ("putting", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (červená) ("putting", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #