Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Nenašel jsem žádné sedlové body, ale bylo minimum:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Chcete-li najít extrém, vezměte si částečný derivát s ohledem na #X# a # y # zjistit, zda se obě částečné deriváty mohou rovnat #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Pokud se zároveň musí rovnat #0#, tvoří a systém rovnic:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Tento lineární systém rovnic, při odečtení zrušit # y #, dává:

# 3x - 1 = 0 => barva (zelená) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => barva (zelená) (y = -2/3) #

Protože rovnice byly lineární, existoval pouze jeden kritický bod, a tedy pouze jeden extrém. Druhá derivace nám řekne, zda to bylo maximum nebo minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Tyto druhé partials jsou ve shodě, takže graf je konkávní, podél #X# a # y # sekery.

Hodnota #f (x, y) # v kritickém bodě je (zasunutím zpět do původní rovnice):

#color (zelená) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = barva (zelená) (- 1/3) #

Máme tedy minimální z #color (modrá) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Teď, pro křížové deriváty zkontrolovat všechny body sedla, které by mohly být podél diagonálního směru:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) (x, y) = 1 #

Vzhledem k tomu, že se jedná o obojí v dohodě, namísto toho, aby byly opačnémi znaménky, existuje žádný sedlový bod.

Uvidíme, jak tento graf vypadá, aby zkontroloval: