Ukážte, že dráha sledovaná průsečíkem tří vzájemných kolmých tečných rovin k elipsoidní ose ^ 2 + by ^ 2 + cz ^ 2 = 1 je koule se stejným středem jako elipsoid.?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Povolání # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + by ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

Li #p_i = (x_i, y_i, z_i) v E # pak

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # je rovina tečná k #E# protože má společný bod a #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # je normální #E#

Nechat # Pi-> alfa x + beta y + gamma z = delta # být obecná rovina tečná k #E# pak

# {(x_i = alfa / (a delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #

ale

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # tak

# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # a rovnice obecné tečné roviny je

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

Nyní dány tři ortogonální roviny

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

a volání #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # a tvorby

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # můžeme si vybrat

#V cdot V ^ T = I_3 #

a v důsledku toho

# V ^ Tcdot V = I_3 #

pak máme také

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alfa_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0), 0):} #

Nyní přidávám #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # my máme

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + suma (beta_i gamma_i) = sum_i delta_i ^ 2 #

a nakonec

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

ale #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

tak

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

což je cesta, která je sledována průsečíkem tří vzájemných kolmých tečných rovin k elipsoidu.

Připojen graf pro elipsoid

# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #