Co je int (cos (x)) ^ 4 dx?

Odpovědět:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Vysvětlení:

Zatímco se zpočátku jeví jako skutečně otravný integrál, můžeme skutečně využít trig identity, abychom tento integrál rozdělili do řady jednoduchých integrálů, s nimiž jsme více obeznámeni.

Identita, kterou budeme používat, je:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

To nám umožňuje manipulovat s naší rovnicí jako takovou:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4min (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Nyní můžeme znovu použít naše pravidlo, abychom odstranili cos ^ 2 (2x) uvnitř závorky:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4min (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8min (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8min (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Nyní máme ve skutečnosti poměrně jednoduchý integrační problém, můžeme integrál integrovat do našich závorek, takže:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Každý z těchto trig integrálů je řešen jednoduchým pravidlem #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Tím pádem, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #