Jak vyřeším tuto rovnici?

Odpovědět:

# "Zobrazit vysvětlení" #

Vysvětlení:

# "Nejprve aplikujte racionální kořenové teorémy k nalezení racionálních kořenů."

# "Nacházíme" x = 1 "jako racionální kořen." #

# "Takže" (x-1) "je faktor. Rozdělujeme tento faktor pryč:" # #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Máme zbývající kubickou rovnici, která nemá žádné racionální kořeny."

# "Můžeme to vyřešit nahrazením metody Vieta."

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Náhradník" x = y + 2/9 ". Pak dostaneme" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Náhradník" y = (sqrt (22) / 9) z ". Pak dostaneme" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Náhradník" z = t + 1 / t ". Pak dostaneme" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Nahrazení" u = t ^ 3 ", dává kvadratickou rovnici:" #

# u ^ 2 - 5,91147441 u + 1 = 0 #

# "Kořen této kvadratické rovnice je u = 5.73717252." # #

# "Nahrazení proměnných zpět, výnosy:" #

#t = kořen (3) (u) = 1,79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Ostatní kořeny jsou složité:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Naleznete je tak, že se oddělíte) (x-1.44631151)) #

Odpovědět:

Racionální reálná nula je # x = 1 #.

Pak existuje iracionální reálná nula:

# x_1 = 1/9 (2 + kořen (3) (305 + 27sqrt (113)) + kořen (3) (305-27sqrt (113))) #

a souvisejících nereálných komplexních nul.

Vysvětlení:

Vzhledem k:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Všimněte si, že součet koeficientů je #0#.

To je: #3-5+2 = 0#

Můžeme to tedy odvodit # x = 1 # je nula a # (x-1) # faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (bílá) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Zbývající krychle je poněkud složitější …

Vzhledem k:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus transformace

Aby byl úkol vyřešení kubické jednodušší, vytvoříme kubický jednodušší pomocí lineární substituce známé jako Tschirnhausova transformace.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

kde # t = (9x-2) #

Cardanova metoda

Chceme vyřešit:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Nechat # t = u + v #.

Pak:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Přidat omezení # v = 22 / u # odstranit # (u + v) # termín a získat:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Vynásobte pomocí # u ^ 3 # a mírně změnit uspořádání, abyste získali:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Použijte kvadratický vzorec pro nalezení:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Protože toto je Real a derivace je symetrická v # u # a #proti#, můžeme použít jeden z těchto kořenů # u ^ 3 # a další # v ^ 3 # najít opravdového kořene:

# t_1 = kořen (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

a souvisejících komplexních kořenů:

# t_2 = kořen omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + kořen omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 kořen (3) (305 + 27sqrt (113)) + kořen omega (3) (305-27sqrt (113)) #

kde # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # je primitivní Komplexní kostka kořene #1#.

Nyní # x = 1/9 (2 + t) #. Takže kořeny naší původní krychle jsou:

# x_1 = 1/9 (2 + kořen (3) (305 + 27sqrt (113)) + kořen (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + kořen omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + kořen omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 kořen (3) (305 + 27sqrt (113)) + kořen omega (3) (305-27sqrt (113))) #