Nechť M a N jsou matice, M = [(a, b), (c, d)] a N = [(e, f), (g, h)] a va vektor v = [(x), ( y)]. Ukažte, že M (Nv) = (MN) v?

Odpovědět:

Toto se nazývá asociativní právo násobení.

Viz níže uvedený důkaz.

Vysvětlení:

(1) #Nv = (e, f), (g, h) * (x), (y) = (ex + fy), (gx + hy) #

(2) #M (Nv) = (a, b), (c, d) * (ex + fy), (gx + hy) = (aex + afy + bgx + bhy), (cex + cfy + dgx + dhy) #

(3) # MN = (a, b), (c, d) * (e, f), (g, h) = (ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh) #

(4) # (MN) v = (ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh) * (x), (y) = (aex + bgx + afy + bhy), (cex + dgx + cfy + dhy) #

Všimněte si, že konečný výraz pro vektor v (2) je stejný jako konečný výraz pro vektor v (4), změní se pouze pořadí součtů.

Konec důkazu.

Nechť A (x_a, y_a) a B (x_b, y_b) jsou dva body v rovině a nechť P (x, y) je bod, který dělí bar (AB) v poměru k: 1, kde k> 0. Ukažte, že x = (x_a + kx_b) / (1 + k) a y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Viz důkaz níže Začněme výpočtem vec (AB) a vec (AP) Začneme písmenem x vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k Násobení a přeskupení (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) Řešení pro x (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a (k + 1 ) x = x_a + kx_b x = (x_a + kx_b) / (k + 1) Podobně s y (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k ky_b-ky_a = y (k +1) - (k + 1) y_a (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a y = (y_a + ky_b) / (k + 1)

Nechť [(x_ (11), x_ (12)), (x_21, x_22)] je definováno jako objekt nazvaný matice. Determinant matice je definován jako [(x_ (11) xxx_ (22)] - (x_21, x_12)]. Nyní, jestliže M [(- 1,2), (-3, -5)] a N = [(- 6,4), (2, -4)] co je determinant M + N a MxxN?

Determinantem je M + N = 69 a hodnota MXN = 200ko Je třeba definovat součet a součin matic. Předpokládá se však, že jsou přesně definovány v učebnicích pro matici 2xx2. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, -). 9)] Proto je jeho determinantem (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((- 1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4))] = [(10, -12) ), (10,8)] Tudíž deeminant MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200

Nechť P je libovolný bod na kuželu r = 12 / (3-sin x). Nechť F¹ a F² jsou body (0, 0 °) a (3, 90 °). Ukažte, že PF¹ a PF² = 9?

R = 12 / {3-sin theta} Žádáme vás, abychom ukázali | PF_1 | + | PF_2 | = 9, tzn., Že P vybírá elipsu s ohnisky F_1 a F_2. Viz níže uvedený důkaz. # Opravme to, co budu hádat, je překlep a řekni, že P (r, theta) splňuje r = 12 / {3-sin theta} Rozsah sinu je pm 1, takže uzavíráme 4 le r le 6. 3r - r sin theta = 12 | PF_1 | = | P - 0 | = r V pravoúhlých souřadnicích, P = (r cos theta, r sin theta) a F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta +