Co je doména a rozsah y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

Odpovědět:

Doména: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

Rozsah: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

Vysvětlení:

Doménou jsou všechny hodnoty # y # kde # y # je definovaná funkce.

Pokud se jmenovatel rovná #0#, funkce je typicky nedefinovaná. Tak tady, když:

# x + 3 = 0 #, funkce je nedefinovaná.

Proto na # x = -3 #, funkce je nedefinovaná.

Doména je tedy uvedena jako # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

Rozsah je všech možných hodnot # y #. Také se zjistí, když je diskriminační funkce menší než #0#.

Najít diskriminačního (#Delta#), musíme rovnici vytvořit kvadratickou rovnici.

# y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# x ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# x ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3y) = 0 #

Toto je kvadratická rovnice kde # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

Od té doby # Delta = b ^ 2-4ac #můžeme zadat:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3y) #

# Delta = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12y #

# Delta = y ^ 2 + 14y + 5 #

Další kvadratický výraz, ale tady, protože #Delta> = 0 #je to nerovnost formy:

# y ^ 2 + 14y + 5> = 0 #

Řešíme # y #. Dvě hodnoty # y # dostaneme horní a dolní mez rozsahu.

Protože můžeme faktor # ay ^ 2 + od + c # tak jako # (y - (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (y - (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) #můžeme říci:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. Zadávání:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

Takže faktory jsou # (y- (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7)) = = 0 #

Tak #y> = 2sqrt (11) -7 # a #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

V intervalové notaci můžeme napsat rozsah jako:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #