Jaká jsou řešení (z-1) ^ 3 = 8i?

Odpovědět:

#zv {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Vysvětlení:

Pro tento problém budeme muset vědět, jak najít # n ^ "th" # kořeny komplexního čísla. K tomu použijeme identitu

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Díky této identitě můžeme reprezentovat jakékoliv komplexní číslo jako

# a + bi = Re ^ (itheta) # kde #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a #theta = arctan (b / a) #

Teď půjdeme po krocích k nalezení # 3 ^ "rd" # kořeny komplexního čísla # a + bi #. Kroky pro nalezení # n ^ "th" # kořeny jsou podobné.

Dáno # a + bi = Re ^ (itheta) # hledáme všechna komplexní čísla # z # takové

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Tak jako # z # je komplexní číslo, existuje # R_0 # a # theta_0 # takové

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Pak

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Z toho okamžitě máme # R_0 = R ^ (1/3) #. Můžeme také srovnávat exponenty #E#, ale poznamenat, že jako sinus a cosine jsou periodické s periodou # 2pi #, pak z původní identity, # e ^ (itheta) # bude také. Pak máme

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # kde #k v ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # kde #k v ZZ #

Nicméně, jako bychom stále doplňovali # 2pi # znovu a znovu skončíme se stejnými hodnotami, redundantní hodnoty můžeme ignorovat přidáním omezení # theta_0 v 0, 2pi #, to znamená, #k v {0, 1, 2} #

Když to všechno dáme dohromady, dostaneme sadu řešení

#zv {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Můžeme to převést zpět na # a + bi # pomocí identity

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Použití výše uvedeného postupu na problém:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Pomocí výše uvedeného procesu můžeme najít # 3 ^ "rd" # kořeny # i #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) v {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Použití # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # my máme

# i ^ (1/3) v {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Nakonec tyto hodnoty nahradíme pro #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#zv {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #