Trojúhelník A má plochu 8 a dvě strany délky 9 a 12. Trojúhelník B je podobný trojúhelníku A a má stranu o délce 25 mm. Jaké jsou maximální a minimální možné plochy trojúhelníku B?

Odpovědět:

Max A = #185.3#

Min A = #34.7#

Vysvětlení:

Z rovnice oblasti trojúhelníku #A = 1 / 2bh # můžeme vybrat jakoukoliv stranu jako „b“ a řešit pro h:

# 8 = 1 / 2xx12h; h = 1 1/3 # Víme tedy, že neznámá strana je nejmenší.

Můžeme také použít trigonometrii k nalezení zahrnutého úhlu naproti nejmenší straně:

#A = (bc) / 2sinA #; # 8 = (9xx12) / 2sinA #; #A = 8.52 ^ o #

Nyní máme trojúhelník „SAS“. K nalezení nejmenší strany používáme zákon Cosines:

# a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - (2bc) cosA #; # a ^ 2 = 9 ^ 2 + 12 ^ 2 -2xx9xx12cos8.52 #

# a ^ 2 = 11,4 #; #a = 3.37 #

Největší podobný trojúhelník by měl danou délku 25 jako nejkratší stranu, a minimální plocha by to měla jako nejdelší strana, odpovídající 12 originálu.

Minimální plocha podobného trojúhelníku by tedy byla #A = 1 / 2xx25xx (25 / 12xx4 / 3) = 34,7 #

Heronův vzorec můžeme použít pro řešení prostoru se třemi stranami. Poměry: 3,37: 9: 12 = 12: 32: 42.7

#A = sqrt ((sxx (s-a) xx (s-b) xx (s-c)) # kde #s = 1/2 (a + b + c) # a a, b, c jsou délky stran.

#s = 17,3 #

#A = sqrt ((17.3xx (17,3 - 12) xx (17,3 - 32) xx (17,3 - 42,7)) #; #A = sqrt ((17.3xx (5.3) xx (-14.75) xx (-25.4)) #

#A = sqrt (34352) #; #A = 185,3 #