Použijte první princip k rozlišení? y = sqrt (sinx)

Použijte první princip k rozlišení? y = sqrt (sinx)
Anonim

Odpovědět:

První krok je přepsat funkci jako racionální exponent #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Vysvětlení:

Po vyjádření v tomto formuláři jej můžete rozlišit pomocí pravidla Řetěz:

Ve vašem případě: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Pak, # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # což je vaše odpověď

Odpovědět:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Vysvětlení:

Pomocí definice limitu derivátu máme:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Takže pro danou funkci, kde #f (x) = sqrt (sinx) #, my máme:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) # #

Pak můžeme použít trigonometrickou identitu:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Dává nám:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) # #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) # #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Pak použijeme dva velmi standardní limity počtu:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, a #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, a #

A nyní můžeme hodnotit limity:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #