Jak převést r = 7 / (5-5costheta) do pravoúhlé formy?

Odpovědět:

To je boční parabola # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Vysvětlení:

Tenhle je zajímavý, protože se liší; minimum jmenovatele je nula. Je to kuželovitá sekce; myslím, že je to jen parabola. Nezáleží na tom moc, ale říká nám, že můžeme získat pěknou algebraickou formu bez trig funkcí nebo odmocnin.

Nejlepší přístup je sorta dozadu; používáme polární až obdélníkové substituce, když se zdá, že by to bylo jinak přímější.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Tak # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Vidíme #r> 0. # Začneme tím, že vyčistíme zlomek.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Máme #r cos theta # takže to je #X.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Naše počáteční pozorování bylo #r> 0 # takže squaring je v pořádku.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Teď opět nahradíme.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Technicky jsme na tuto otázku odpověděli v tomto bodě a mohli bychom se zde zastavit. Ale je tu ještě algebra, která má dělat, a doufejme, že na konci odměnu: možná můžeme ukázat, že je to vlastně parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

graf {x = 1/70 (25y2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Ano, to je parabola, otočená # 90 ^ circ #z obvyklé orientace.

Zkontrolujte: Alpha eyball