Jaké jsou extrémy f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 v intervalu [-1,3]?

Odpovědět:

Máme minima # x = 0 # a bod inflexe na # x = 3 #

Vysvětlení:

Maxima je nejvyšší bod, ke kterému funkce stoupá a pak opět klesá. Jako takový bude sklon tečny nebo hodnota derivátu v tomto bodě nulová.

Dále, protože tečny vlevo od maxim budou skloněny směrem vzhůru, pak se zplošťují a pak se svažují dolů, sklon tangenty bude kontinuálně klesat, to znamená, že hodnota druhého derivátu by byla negativní.

Minima na druhé straně je dolní bod, ke kterému funkce padá a pak znovu stoupá. Jako taková bude tečna nebo hodnota derivátu při minimu také nulová.

Jelikož však tečny vlevo od minima budou šikmé dolů, pak se zplošťují a pak se svažují vzhůru, sklon tečny se bude průběžně zvyšovat nebo hodnota druhého derivátu bude pozitivní.

Pokud je druhá derivace nulová, máme bod

Tato maxima a minima však mohou být buď univerzální, tj. Maxima nebo minima pro celý rozsah nebo mohou být lokalizovány, tj. Maxima nebo minima v omezeném rozsahu.

Podívejme se na to s odkazem na funkci popsanou v otázce a za to nejprve rozlišujme #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Jeho první derivace je dána #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

To by bylo nulové # x ^ 2-9 = 0 # nebo #x = + - 3 # nebo #0#. Pouze z těchto #{0,3}# jsou v rozsahu #-1,3}#.

Proto se v bodech vyskytují maxima nebo minima # x = 0 # a # x = 3 #.

Abychom zjistili, zda se jedná o maxima nebo minima, podívejme se na druhý diferenciál, který je #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # a proto

v # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # a je pozitivní

v # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # a je bodem skloňování.

Proto máme místní minima # x = 0 # a bod inflexe na # x = 3 #

. graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Odpovědět:

Absolutní minimum je #(-9)^3+10# (který se vyskytuje na. t #0#), absolutní maximum na intervalu je #10#, (k němuž dochází na #3#)

Vysvětlení:

Otázka neupřesňuje, zda máme najít relativní nebo absolutní extrémy, takže najdeme obojí.

Relativní extrémy se mohou vyskytnout pouze u kritických čísel. Kritická čísla jsou hodnoty #X# které jsou v doméně #F# a na které buď #f '(x) = 0 # nebo #f '(x) neexistuje. (Věta Fermata)

Absolutní extrémy na uzavřeném intervalu mohou nastat v kritických číslech v intervalu nebo v bodech intervalu.

Protože funkce, o kterou se zde jedná, je nepřetržitá #-1,3#Věta o extrémních hodnotách nás to ujišťuje #F# musí mít v intervalu absolutní i absolutní maximum.

Kritická čísla a relativní extrémy.

Pro #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, shledáváme #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Jasně, #F'# nikdy neexistují, takže neexistují kritická čísla tohoto druhu.

Řešení # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # přináší řešení #-3#, #0#, a #3#.

#-3# není v oblasti tohoto problému, #-1,3# takže musíme jen zkontrolovat #f (0) # a #f (3) #

Pro #x <0 #, my máme #f '(x) <0 # a

pro #x> 0 #, my máme #f '(x)> 0 #.

První derivační test, #f (0) # je relativní minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Další kritické číslo v intervalu je #3#. Pokud ignorujeme omezení domény, zjistíme, že #f '(x)> 0 # pro všechny #X# u #3#. Funkce se tedy zvyšuje v malých otevřených intervalech obsahujících #3#. Proto, pokud se zastavíme v #3# zasáhli jsme nejvyšší bod v doméně.

Tady je ne všeobecnou dohodu, zda to říci #f (3) = 10 # je relativní maximum pro tuto funkci zapnuto #-1,3#.

Některé vyžadují hodnotu na obou stranách být méně, jiní vyžadují hodnoty v doméně na jedné straně být méně.

Absolutní extrém

Situace pro absolutní extrémy v uzavřeném intervalu # a, b # je mnohem jednodušší.

Najděte kritická čísla v uzavřeném intervalu. Zavolej # c_1, c_2 # a tak dále.

Vypočítejte hodnoty #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # a tak dále. Největší hodnota je absolutní maixmum na intervalu a nejmenší hodnota je absolutní minimum intervalu.

V této otázce počítáme #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # a #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimum je #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # a

maximum je #f (-3) = 10 #.