Předpokládejme, že z = x + yi, kde x a y jsou reálná čísla. Jestliže (iz-1) / (z-i) je reálné číslo, ukažte, že když (x, y) není rovno (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Odpovědět:

Viz níže,

Tak jako # z = x + iy #

# (iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((ix- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Tak jako # (iz-1) / (z-i) # je skutečný

# (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # a # x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Teď jako # x ^ 2 + (y-1) ^ 2 # je součet dvou čtverců, může být nula pouze tehdy, když # x = 0 # a # y = 1 # tj.

-li # (x, y) # není #(0,1)#, # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #