Jaká je délka oblouku r (t) = (t, t, t) na cínu [1,2]?

Odpovědět:

#sqrt (3) #

Vysvětlení:

Hledáme délku oblouku vektorové funkce:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # pro #tv 1,2 #

Které můžeme snadno vyhodnotit pomocí:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

Vypočítáme tedy derivaci, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Tak získáme délku oblouku:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# sqrt (3) (2-1) #

# sqrt (3) #

Tento triviální výsledek by neměl přijít jako žádné překvapení, protože daná původní rovnice je rovnicí přímky.