Jak dokazujete: secx - cosx = sinx tanx?

Použití definic # secx # a # tanx #, spolu s identitou

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, my máme

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Odpovědět:

Nejprve převeďte všechny výrazy na # sinx # a # cosx #.

Druhé platí pro pravidla LHS.

Nakonec aplikujeme Pythagorovu identitu: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Vysvětlení:

Nejprve v otázkách těchto formulářů je vhodné převést všechny termíny na sinus a cosine: so, nahradit #tan x # s #sin x / cos x #

a nahradit #sec x # s # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # se stává # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # se stává #sin x sin x / cos x # nebo # sin ^ 2 x / cos x #.

Nyní aplikujeme pravidla pro zlomkové součty na LHS, což vytváří společný základ (podobně jako u číselných zlomků) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Nakonec aplikujeme Pythagorovu identitu: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (jedna z nejužitečnějších identit pro tyto typy problémů).

Uspořádáním ji dostaneme # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Nahrazujeme # 1- cos ^ 2 x # v LHS s # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # která se rovná modifikované RHS.

LHS = RHS Q.E.D.

Všimněte si, že tento obecný vzor, jak dostat věci do pojmů sine a cosine, s použitím zlomkových pravidel a Pythagorean identity, často řeší tyto typy otázek.

Pokud si to přejeme, můžeme také upravit pravou stranu tak, aby odpovídala levé straně.

Měli bychom psát # sinxtanx # ve smyslu # sinx # a # cosx #pomocí identity #color (červená) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Nyní používáme Pythagorovu identitu, která je # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Můžeme to upravit, abychom to vyřešili # sin ^ 2x #, tak: #color (červená) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Nyní rozdělte čitatele:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Použijte vzájemnou identitu #color (červená) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Odpovědět:

Je to opravdu jednoduché …

Vysvětlení:

Použití identity # tanx = sinx / cosx #, vynásobte # sinx # na identitu, kterou získáte:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Pak násobte # cosx # prostřednictvím rovnice, která přinese:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Vezmeme-li v úvahu, že # secx # je inverzní # cosx #.

Nakonec pomocí goniometrické identity # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #poslední odpověď by byla:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #