Jak dokazujete (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Tyto dvě identity budeme potřebovat k dokončení důkazu:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Začnu pravou stranou a pak s ní manipuluji, dokud to nevypadá na levé straně:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (bílá) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (bílá) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (bílá) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#color (bílá) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (červená) (* sinx / sinx) #

#color (bílá) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (bílá) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) barva (červená) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (bílá) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (bílá) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (bílá) (RHS) = LHS #

To je důkaz. Doufám, že to pomohlo!

Snažíme se prokázat totožnost:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Zvažte LHS výrazu a použijte definici tečny:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# (1 + cosx) / 2 #

Zvažte RHS a použijte identitu:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Dává nám:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Tím pádem:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) t QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (zrušit (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #

Jak dokazujete (cotx + cscx / sinx + tanx) = (cotx) (cscx)?

Ověřeno níže (cotx + cscx) / (sinx + tanx) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx + 1 / sinx) / (sinx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1) / sinx) / ((sinxcosx) / cosx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1) / sinx) / ((sinx (cosx + 1)) / cosx) = (cotx) (cscx) ) (zrušit (cosx + 1) / sinx) * (cosx / (sinxcancel ((cosx + 1)))) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx * 1 / sinx) = (cotx) (cscx) ( cotx) (cscx) = (cotx) (cscx)

Jak dokazujete (cosx / (1 + sinx)) + ((1 + sinx) / cosx) = 2secx?

Převést levou stranu na termíny se společným jmenovatelem a přidat (konverze cos ^ 2 + sin ^ 2 na 1 podél cesty); zjednodušení a odkaz na definici sec = 1 / cos (cos (x) / (1 + sin (x))) ((1 + sin (x)) / cos (x)) = (cos ^ 2 (x) + 1 + 2sin (x) + sin ^ 2 (x)) / (cos (x) (1 + sin (x) = (2 + 2sin (x)) / (cos (x) (1 + sin (x) ) = 2 / cos (x) = 2 * 1 / cos (x) = 2sec (x)

Jak dokazujete: secx - cosx = sinx tanx?

Pomocí definic secx a tanx, spolu s identitou sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1, máme secx-cosx = 1 / cosx-cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x ) / cosx = sin ^ 2x / cosx = sinx * sinx / cosx = sinxtanx